Beispiel 2


Biegeträger

Für die skizzierte konische Welle, bei der sich der Durchmesser in zwei Abschnitten jeweils linear ändert, sind die Durchbiegung (Elastizitätsmodul EI = 2,1 · 105 N/mm2), der Biegemomentenverlauf, der Querkraftverlauf sowie die Lagerreaktionen zu berechnen (alle Längenangaben in der Skizze in mm).

 

Das Problem wird mit dem Java-Applet "Biegeträger 2D (FEM)" gelöst. Nachfolgend werden die empfohlenen Schritte dokumentiert:

  1. Festlegungen der Dimensionen für Länge und Kraft (müssen einheitlich sein für alle Eingabewerte, die Ergebnisse erhält man dann auch in den gewählten Dimensionen) brauchen nicht gesondert getroffen zu werden, weil die Größen der Aufgabenstellung ausschließlich in N bzw. mm gegeben sind.

  2. Nach dem Start des Applets (und Doppelklick in den Mittelbereich) wird die Zeichenfläche vorbereitet. Für den Biegeträger mit einer Länge von 1100 mm wird dieser Wert für x-max eingestellt, es wird mit einer Rasterbreite von 50 mm gearbeitet. Dies wird über die Registerkarte "Zeichenfläche" in dem Register links oben erledigt:

    Vorbereiten der Zeichenfläche

  3. Elemente erzeugen: Nach Anklicken des Angebots ganz rechts oben (Element ohne Linienlast) im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Element" ändert sich ("Knoten 1 picken"), und es erscheint ein Element in der Zeichenfläche:

    Ein Element erscheint in der Zeichenfläche

  4. Der rot gezeichnete Knoten wird mit der Maus bis zur Koordinate 0 geführt und dort durch Klicken fixiert (bei der Mausbewegung wird die jeweils aktuelle Koordinate in der Registerkarte "Knoten" im linken Menü angezeigt). Danach wird der andere Knoten rot und kann zur Koordinate 100 geführt und dort durch Klick fixiert werden. Damit ist ein Element erzeugt, zunächst mit einem Standardwert für die Biegesteifigkeit EI, der in der Registerkarte links (farblich unterlegt) angezeigt wird. Dieser könnte sofort auf den korrekten Wert geändert werden. Bequemer ist es, in dem Auswahlfeld "Querschnitt ist ..." von "konstant" auf "Kreis dL ... dR" umzuschalten. Der Eingabeberecih ändert sich danach, es müssen der Durchmesser am linken Elementrand, der Durchmesser am rechten Elementrand und der Elastizitätsmodul eingegeben werden. Als Elastizitätsmodul ist der Wert für Stahl voreingestellt, so dass nur die beiden Werte für dL und dR (jeweils 20) eingetragen werden müssen. Danach muss unbedingt der unter den Eingabefeldern liegende Button "Eingabe Element" angeklickt werden, damit die neuen Werte übernommen werden:

    Eingabe des ersten Elements

  5. Der Vorgang wird für das zweite Element wiederholt (Klicken auf das Symbol im Angebot "Element" rechts oben und Fixieren der beiden Knoten bei 100 bzw. 350). Für den Querschnitt bietet das Programm die Variante des vorher eingegebenen Elements mit dem Wert am rechten Rand dieses Elements an, so dass sich wie hier die Eingabe vereinfacht. Weil es sich um ein konisches Element handelt, muss nur dR auf den Wert 50 korrigiert werden. Danach muss wieder der Button "Eingabe Element" angeklickt werden:

    Zwei Elemente und drei Knoten sind erzeugt

  6. Auf entsprechende Weise werden die Elemente 3 bis 5 erzeugt. Beim Element 3 ist es besonders einfach, weil gleich die korrekten Werte für die Durchmesser angeboten werden (ebenso beim Element 5). Beim Element 4 muss nur der Wert für den Durchmesser am rechten Rand korrigiert werden. Das Modell sieht nun so aus:

    Fünf Elemente und sechs Knoten sind erzeugt

  7. Lager eingeben: Im Menü "Lager" am rechten Rand wird das Festlagersymbol angeklickt. Ein Lager erscheint in der Zeichenfläche und wird mit der Maus bis zum Punkt 0 verschoben und dort durch Klicken fixiert. Auf gleiche Weise wird das Loslager am rechten Rand der Welle erzeugt. Die Lager sind in der Skizze zu sehen und sind im Eingabeprotokoll registriert:

    Die Welle ist gelagert

  8. Belastung eingeben: Im Menü "Kraft" am rechten Rand wird das Symbol mit der nach unten gerichteten Einzelkraft angeklickt. Ein entsprechender Kraftpfeil erscheint in der Zeichenfläche und wird mit der Maus bis zum Punkt 350 verschoben und dort durch Klicken fixiert. Zunächst wird eine Einheitslast angenommen, worauf in der Registerkarte "Knoten" (farblich unterlegt) aufmerksam gemacht wird. Der Wert sollte sofort auf den Wert der Aufgabenstellung (2000) korrigiert werden. Damit der neue Wert übernommen wird, muss auf "Eingabe Knoten" geklickt werden. Das folgende Bild zeigt das Eingabefeld mit dem bereits geänderten Wert vor dem Anklicken des Buttons "Eingabe Knoten":

    Eingabe der ersten Einzelkraft

  9. Nachdem die andere Einzelkraft auf gleiche Weise erzeugt (und mit dem Wert 4000 versehen) wurde, ist das Berechnungsmodell komplett:

    Das Berechnungsmodell ist komplett

  10. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet, Biegelinie, Biegemoment- und Querkraftverlauf werden graphisch dargestellt, und die Knotenabsenkungen v und die Biegewinkel φ an den Knoten werden gelistet:

    Ergebnisse

  11. Rechts unten wird die Umschaltung der Anzeige auf weitere Ergebnisse angeboten. Zunächst wird auf "Schnittgrößen" geklickt. Die Schnittgrößen Mb (Biegemoment) und FQ (Querkraft) werden elementweise ausgegeben, wobei der erste Index für die Elementnummer steht, der zweite ist ein L für den linken bzw. ein R für den rechten Elementrand:

    Ergebnisse: Schnittgrößen

  12. Schließlich kann man sich auch noch die Lagerreaktionen ansehen:

    Ergebnisse: Lagerreaktionen

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