Statisch unbestimmte gerade Biegeträger (FEM)

Für den nebenstehend skizzierten Biegeträger sind die Biegelinie, der Biegemomentenverlauf und der Querkraftverlauf sowie die Lagerreaktionen zu berechnen.

Das Problem wird mit dem Java-Applet "Biegeträger 2D (FEM)" gelöst. Nachfolgend werden die empfohlenen Schritte dokumentiert:

1. Mit diesem Beispiel soll gezeigt werden, wie man vorgehen kann, wenn keine Zahlenwerte gegeben sind. Wenn, wie in diesem Beispiel, alle Längen, alle Belastungen und alle Biegesteifigkeiten durch jeweils eine Größe ausgedrückt werden können, dann können diese "Bezugsgrößen" für die Rechnung den Wert 1 bekommen, so dass für diese Aufgabe mit folgenden (dimensionslosen) Eingabewerten gerechnet wird:
   
   
   l = 1  ;  q₁ = 1  ;   F = 2  ;  EI = 1 .
   
   Die damit ermittelten Ergebnisse sind zunächst auch dimensionslose Werte. Die dimensionslosen Verschiebungen sind mit q₁l ⁴/(EI), die dimensionslosen Biegewinkel mit q₁l ³/(EI), die dimensionslosen Momente (Biegemomente, Einspannmomente) mit q₁l ² und die dimensionlosen Kräfte (Querkräfte und Lagerreaktionen) mit q₁l zu multiplizieren, um zu den "normalen" dimensionsbehafteten Größen zu kommen.
   
   Nach der Demonstration der Lösung für die gegebene Aufgabenstellung wird noch gezeigt, wie man auch dann zu einer allgemeinen Lösung kommen könnte, wenn nicht (wie in der Aufgabenstellung) ein Zusammenhang zwischen der Einzelkraft und der Linienlast vorgegeben wäre.
2. Nach dem Start des Applets (und Doppelklick in den Mittelbereich) wird die Zeichenfläche vorbereitet. Für den Biegeträger mit einer Länge von 1 wird dieser Wert für x-max eingestellt, es wird mit einer Rasterbreite von 0.25 gearbeitet. Dies wird über die Registerkarte "Zeichenfläche" in dem Register links oben erledigt:
   
   
   
   
   
3. Elemente erzeugen: Zunächst wird ein Element ohne Linienlast erzeugt. Nach Anklicken des Angebots ganz rechts oben im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Element" ändert sich ("Knoten 1 picken"), und es erscheint ein Element in der Zeichenfläche:
   
   
   
   
   
4. Der rot gezeichnete Knoten wird mit der Maus bis zur Koordinate 0 geführt und dort durch Klicken fixiert (bei der Mausbewegung wird die jeweils aktuelle Koordinate in der Registerkarte "Knoten" im linken Menü angezeigt). Danach wird der andere Knoten rot und kann zur Koordinate 0.5 geführt und dort durch Klick fixiert werden. Damit ist ein Element erzeugt, zunächst mit einem Standardwert für die Biegesteifigkeit EI, der in der Registerkarte links (farblich unterlegt) angezeigt wird. Der im unteren Teil der Zeichenfläche gegebenen Empfehlung braucht man in diesem Fall nicht zu folgen, weil als Standard für die Biegesteifigkeit der konstante Wert 1 voreingestellt ist:
   
   
   
   
   
5. Der Vorgang wird für ein Element mit Linienlast wiederholt (Klicken auf das untere der beiden Symbole im Angebot "Element" rechts oben und Fixieren der beiden Knoten bei 0.5 bzw. 1). Auch für die Linienlastintensitäten sind die Standardwerte gleich 1:
   
   
   
   
   
6. Es muss also in den farblich unterlegten Feldern in der Registerkarte "Element" korrigiert werden. In diesem Fall beschränkt es sich darauf, für "Linienlast links qL =" den Wert 0 einzugeben (danach "Eingabe Element" anklicken). Dann sieht das Modell so aus:
   
   
   
   
   
7. Einzellast eingeben: Nach Anklicken des Symbols für die abwärts gerichtete Kraft (rechts unten) erscheint das Symbol in der Zeichenfläche und wird mit der Maus zur Koordinate 0.25 bewegt und dort mittels Mausklick fixiert. Auch für die Kraft wird ein Einheitswert angenommen, der in der links zu sehenden Registerkarte "Knoten" zu sehen ist. Der Wert für F wird auf 2 korrigiert und durch Anklicken von "Eingabe Knoten" eingegeben. Weil der neue Knoten im bisherigen Element 1 liegt, wird dieses in zwei Elemente gesplittet, so dass das Modell nun aus 3 Elementen und 4 Knoten besteht:
   
   
   
   
   
8. Lager eingeben: Nach Anklicken des Symbols für die starre Einspannung im Menü "Lager" (rechts im Mauseingabe-Menü) erscheint dieses in der Zeichenfläche und wird mit der Maus zur Koordinate 0 bewegt und dort mittels Mausklick fixiert. Auf entsprechende Weise werden die beiden Loslager an den Punkten 0.5 und 1 erzeugt. Dann ist das Berechnungsmodell komplett:
   
   
   
   
   
9. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet. Biegelinie, Biegemoment- und Querkraftverlauf werden graphisch dargestellt, und die Knotenabsenkungen v und die Biegewinkel φ an den Knoten werden gelistet. Die dimensionslose Werte für die Verschiebungen müssen mit q₁l ⁴/(EI), die dimensionslosen Biegewinkel mit q₁l ³/(EI) multipliziert werden, um zu den "normalen" dimensionsbehafteten Größen zu kommen:
   
   
   
   
   
10. Rechts unten wird die Umschaltung der Anzeige auf weitere Ergebnisse angeboten. Zunächst wird auf "Schnittgrößen" geklickt. Die Schnittgrößen Mb (Biegemoment) und FQ (Querkraft) werden elementweise ausgegeben, wobei der erste Index für die Elementnummer steht, der zweite ist ein L für den linken bzw. ein R für den rechten Elementrand. Die dimensionslosen Werte für die Biegemomente müssen mit q₁l ² und die dimensionlosen Querkräfte mit q₁l multipliziert werden, um zu den "normalen" dimensionsbehafteten Größen zu kommen:
    
    
    
    
    
11. Schließlich kann man sich auch noch die Lagerreaktionen ansehen. Hier muss der dimensionslose Wert für das Einspannmoment mit q₁l ² und die dimensionlosen Lagerkräfte müssen mit q₁l multipliziert werden, um zu den "normalen" dimensionsbehafteten Größen zu kommen:
    
    
    
    
    
12. Die bis hierher berechneten Ergebnisse gelten unter der (in der Aufgabenstellung vorgegebenen) Voraussetzung des Zusammenhangs F = 2q₁l zwischen Einzelkraft und Linienlast. Wenn eine solche Beziehung nicht vorgegeben ist, kann man zur allgemeinen Lösung durch Berechnung zweier Lastfälle mit Einheitslasten und anschließender Überlagerung kommen. Damit wird auch demonstriert, wie einfach die Modifikation der Aufgabenstellung realisiert werden kann.
    
    In der Ergebnisanzeige wird auf "Zurück zur Eingabe" (unten rechts) geklickt. In der Registerkarte "Knoten" (oben links) wird über die Combobox "Knoten-Nr.", in der "Neuer Knoten" steht, der Knoten 2 in die Anzeige geholt, an dem die Einzelkraft wirkt. Im Eingabefeld für F wird der Wert 2.0 durch eine 0 ersetzt und anschließend "Eingabe Knoten" angeklickt. Das veränderte Berechnungsmodell sieht nun so aus:
    
    
    
    
    
13. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet. Die nun angezeigten Ergebnisse gelten für die Belastung des Trägers mit einer (Einheits-)Linienlast. Nachfolgend werden die Lagerreaktionen gezeigt:
    
    
    
    
    
14. In der Ergebnisanzeige wird wieder auf "Zurück zur Eingabe" (unten rechts) geklickt. In der Registerkarte "Knoten" (oben links) wird über die Combobox "Knoten-Nr.", in der "Neuer Knoten" steht, wieder der Knoten 2 in die Anzeige geholt. Im Eingabefeld für F wird der Wert 0.0 durch eine 1 (für eine Einheitslast) ersetzt und anschließend "Eingabe Knoten" angeklickt. Danach wird die Registerkarte "Elemente" in den Vordergrund gebracht und über die Combobox "Element-Nr.", in der "Neues Element" steht, das Element 3 in die Anzeige geholt. Im Eingabefeld "Linienlast qR =" wird der Wert 1.0 durch eine 0 ersetzt und anschließend "Eingabe Element" angeklickt.Das veränderte Berechnungsmodell sieht nun so aus:
    
    
    
    
    
15. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet. Die nun angezeigten Ergebnisse gelten für die Belastung des Trägers mit einer Einheitslast am Knoten 2. Die dimensionslosen Verschiebungen sind bei Belastung durch eine diskrete Last F mit Fl ³/(EI), die dimensionslosen Biegewinkel mit Fl ²/(EI), die dimensionslosen Momente (Biegemomente, Einspannmomente) mit Fl und die dimensionlosen Kräfte (Querkräfte und Lagerreaktionen) mit F zu multiplizieren, um zu den "normalen" dimensionsbehafteten Größen zu kommen.
    
    Nachfolgend werden die (dimensionslosen) Lagerreaktionen gezeigt. :
    
    
    
    
    
16. Zu den Ergebnissen für den Biegeträger, der gleichzeitig durch beliebige Kraft F und beliebige Linienlast mit der Maximalintensität q₁ zu kommen, müssen die beiden berechneten Lastfälle überlagert werden (Superposition, siehe Kapitel "Verformungen durch Biegemomente"). Dies gilt für alle errechneten Ergebnisse, hier exemplarisch für die Lagerreaktion des rechten Festlagers aufgeschrieben:
    
    
    F₄ = 0,15 q₁ l - 0,0535714 F  .
    
    Wenn man in dieses Ergebnis den in der Aufgabenstellung formulierten Zusammenhang F = 2q₁ l einsetzt, erhält man mit
    
    
    F₄ = 0,04286 q₁ l
    
    das eingangs berechnete Ergebnis.