Zentrales ebenes Kraftsystem

Bei einem zentralen ebenen Kraftsystem schneiden sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt (hier ist es der Nullpunkt des kartesischen Koordinatensystems). Für beliebig viele Kräfte kann neben der Berechnung der Resultierenden (Kraft, die die Wirkung aller Kräfte ersetzt) und einer Kraft, die Gleichgewicht erzeugt, die typische Aufgabe erledigt werden: Gleichgewicht herstellen mit zwei Kräften auf vorzugebenden Wirkungslinien.

Beispiel 1: An einer Öse sind über Umlenkrollen die Massen m₁ und m₂ befestigt.

Gegeben: m₁ = 50 kg  ;   α = 45°  ;   m₂ = 60 kg  ;   β = 60° .

Es sind die Gesamtbelastung F_R der Öse und die Richtung der Kraft F_R zu ermitteln (Aufgabe entnommen aus dem Kapitel "Das zentrale ebene Kraftsystem" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik").

Da die beiden Rollen die Gewichtskräfte m₁g und m₂g nur in ihrer Richtung umlenken, kann die Resultierende F_R aus der Kraft m₁g unter dem Winkel α zur Horizontalen und der Kraft m₂g unter β zur Horizontalen bestimmt werden. Bei der Eingabe der Werte ist zu beachten, dass α entsprechend der vereinbarten Winkeldefinition mit einem Minuszeichen einzugeben ist.

Der folgende Ausschnitt aus dem Eingabefeld zeigt die Situation, nachdem die Kraft m₁g bereits eingegeben ist (alle Eingaben werden unterhalb der Eingabefelder protokolliert) und die Kraft m₂g und der Winkel β in den Eingabefeldern noch zu sehen sind (unmittelbar vor Anklicken des Buttons "Kraft und Winkel eingeben"). Man beachte, dass man in die Eingabefelder auch arithmetische Ausdrücke eingeben darf, hier: 60*9.81):

Nach Anklicken des Buttons "Resultierende berechnen" erscheint das Ergebnis:

Beispiel 2: (Aufgabe entnommen aus dem Kapitel "Das zentrale ebene Kraftsystem" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik") Wie groß muss die an dem masselosen Seil horizontal angreifende Kraft F sein, um das durch die Masse m belastete Seil in der skizzierten Lage zu halten?

Gegeben: m = 20 kg  ;   α = 30° .

Die Schnittskizze zeigt, dass die gegebenen Kraft mg mit zwei Kräften im Gleichgewicht sein muss, deren Wirkungslinie mit α_I = 0° (Kraft F) und α_II = 120° bekannt sind.

Die Gewichtskraft kann entweder als F₁ = 20*9.81 und α₁ = −90° in die obere Eingabezeile oder als F_1x = 0 und F_1y = −20*9.81 in die untere Eingabezeile eingegeben werden. Folgende Schritte werden ausgeführt:

• Eingabe der Kraft mg mit einer der oben beschriebenen Varianten.
• Anklicken des Buttons "Gleichgewicht herstellen mit zwei Kräften". Es öffnet sich ein Bereich, in dem die Richtungen der Wirkungslinien festgelegt werden können.
• Eingabe der Werte α_I = 0 und α_II = 120.
• Man kann sich nun zur Kontrolle durch Anklicken von "Wirkungslinien zeichnen" diese in der Grafik anzeigen lassen. Die Berechnung wird über "Kräfte berechnen" gestartet. Nach Anklicken beider Buttons sieht der Bildschirm so aus:

Beispiel 3: Eine Walze mit der Masse m_W liegt auf einer schiefen Ebene und wird durch ein Seil 1 gehalten. Sie ist durch ihr Eigengewicht und über das Seil 2 durch die Gewichtskraft der Masse m belastet.

Gegeben: m_W = 120 kg  ;   m = 40 kg  ;   α = 30° ;   β = 50° .

Man ermittle die Seilkräfte in den Seilen 1 und 2.

Hinweis: Von der schiefen Ebene kann auf die Walze m_W nur eine Kraft senkrecht zur Auflagefläche übertragen werden (Aufgabe entnommen aus dem Kapitel "Das zentrale ebene Kraftsystem" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik").

Die Kraft im Seil 2 muss mit der Gewichtskraft der Masse m im Gleichgewicht sein: F_S2 = mg. Nun kann das zentrale ebene Kraftsystem am Mittelpunkt der Walze m_W betrachtet werden. Bekannt sind die nach rechts gerichtete Seilkraft F_S2 = mg und die nach unten gerichtete Gewichtskraft der Walze m_W g. Für die Winkel der beiden unbekannten Kräfte sind nach der Vorschrift, wie Winkel in das Programm einzugeben sind, α_I = 90°−α = 60° bzw. α_II = 180°−β = 130° einzugeben.

Folgende Schritte sollten ausgeführt werden:

• Eingabe der Kräfte als 120*9.81 unter dem Winkel −90° und 40*9.81 unter dem Winkel 0°. Nebenstehend sieht man die Situation, nachdem die erste Kraft bereits eingegeben ist und die Werte für die zweite Kraft noch in den Eingabefeldern stehen.
• Anklicken des Buttons "Gleichgewicht herstellen mit zwei Kräften".
• Es öffnet sich ein Bereich, in dem die Richtungen der Wirkungslinien festgelegt werden können. Eingabe der Werte für α_I und α_II (wie oben erläutert).
• Nach Anklicken von "Wirkungslinien zeichnen" und "Kräfte berechnen" sieht der Bildschirm so aus: