Dreidimensionale Fachwerke

Dreidimensionale Fachwerke bestehen aus Stäben (übertragen ausschließlich Normalkräfte), die durch (reibungsfreie) Knoten miteinander verbunden sind. Nur die Knoten können belastet und gelagert werden. Es sind nur Festlager vorgesehen, weil andere Lagervarianten mit Stäben simuliert werden können.

Diese 3D-Fachwerke sind statisch bestimmt (Stabkräfte können ohne Verformungsbetrachtungen berechnet werden), wenn

(Anzahl der Stäbe) + 3 · (Anzahl der Festlager) = 3 · (Anzahl der Knoten)

gilt. Dies ist eine notwendige Bedingung, mit deren Erfüllung die Tragfähigkeit des Systems aber noch nicht gesichert ist. Nachfolgend sind einige Beispiele zu sehen, bei denen diese Bedingung erfüllt ist, die aber trotzdem aus unterschiedlichen Gründen nicht tragfähig sind (und sich damit einer Berechnung natürlich entziehen).

Beispiel 1: Das Fachwerk mit 3 Stäben, 3 Lagern und 4 Knoten erfüllt die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit. Aber offensichtlich ist der Stab 3 versehentlich nicht am Knoten 4 sondern am Knoten 3 befestigt worden. Der Knoten 4 "hängt in der Luft" und kann gemeinsam mit den Stäben 1 und 2 "umkippen".

Mit einem Stab 2 zwischen Knoten 4 und Lager 2 wäre das System (klassisches "Dreibein") tragfähig.

Beispiel 2: Auch das Fachwerk mit 6 Stäben, 2 Lagern und 4 Knoten erfüllt die notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit. Aber offensichtlich kann sich das Fachwerk als starres Gebilde um die Verbindungslinie der Knoten 1 und 2 drehen.

Das Fachwerk selbst ist ein starres Tetraeder, das aus 6 Stäben gebildet wird und eine typische Grundstruktur für 3D-Fachwerke darstellt. Es muss nur sinnvoll gelagert werden. Dafür sind zwei Lager in keinem Fall ausreichend, weil sich ein starrer Körper immer um die Verbindungslinie der Lager drehen kann.

Beispiel 3: Deutlich schwieriger zu beurteilen sind die beiden folgenden Fachwerke. Sie bestehen beide aus einer "in sich starren Pyramide", die von den Stäben 1 bis 9 gebildet wird (auch diese Pyramiden sind beliebte Grundstrukturen zum Beispiel für Kranausleger). Die beiden Fachwerke unterscheiden sich nur durch die Anordnung des Lagerstabs 11.

Während das linke Fachwerk tragfähig ist, kann die Lagerung des rechten Fachwerks die Pyramide nicht fixieren. Das Defizit besteht darin, dass ein Moment um eine vertikale Achse durch das Lager am Punkt 3 von keinem Lagerstab ins Gleichgewicht gesetzt werden kann (im Gegensatz zum linken Fachwerk, bei dem der Stab 11 diese Aufgabe erledigt). Unabhängig davon, ob ein solches Moment durch die äußere Belastung überhaupt erzeugt wird, ist das System nicht tragfähig.