Lineares Gleichungssystem - Beispiel

Beispiel 2: Im Kapitel 6 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe formuliert, die mit Hilfe des Angebots "Lineares Gleichungssystem" unter TM-interaktiv gelöst werden soll:

Die skizzierte Arbeitsbühne ist durch die Kraft F belastet. Man ermittle die durch F hervorgerufenen Lagerreaktionen bei A, die Kräfte in den Stäben 1 und 2 und die Seilkraft F_S.

Gegeben:  a ,  F ,  α = 50° .

Entsprechend nebenstehender Schnittskizze lassen sich 6 Gleichgewichtsbedingungen an den beiden Teilsystemen formulieren. Zur Vereinfachung wird der (durch die Abmessungen bekannte) Winkel β eingeführt, der sich aus tan β = a/(2a) = 0,5 berechnen lässt.

Es wird gezeigt, dass sich die Abmessung a aus allen Gleichungen herauskürzt und die Gleichgewichtsbedingungen sich schließlich zu folgendem linearen Gleichungssystem zusammenfassen lassen, in dem die Kraft F als gemeinsamer Faktor auf der rechten Seite steht, so dass auch dafür kein Zahlenwert für eine numerische Lösung erforderlich ist (man muss natürlich alle Ergebnisse mit F multiplizieren):

Es ist sinnvoll, für die bei der Eingabe vielfach benötigten Winkel α und β Konstanten zu definieren. Dies wird über die gelben Eingabefelder realisiert. Die Abbildung links zeigt das Fenster mit den definierten Konstanten pi, e (sind vordefiniert) und alpha (wurde bereits definiert) und den beiden Eingabefeldern, die für die Definition von beta vorbereitet sind, die mit Klicken auf "Neue Konstante" abgeschlossen wird (im arithmetischen Ausdruck für den Wert von beta steht atan für den "Arcus Tangens").

Weil auch die Winkelfunktionen mehrfach vorkommen, werden auch dafür einfache Abkürzungen eingeführt (z. B. sa für sin α und cb für cos β). Die Abbildung rechts zeigt das Fenster mit den bereits definierten Konstanten und den beiden Eingabefeldern, die für die Definition von cb vorbereitet sind, die mit Klicken auf "Neue Konstante" abgeschlossen wird. Man sieht, dass die (vorab) definierten Konstanten (hier wird beta verwendet) bei nachfolgenden Definitionen in den arithmetischen Ausdrücken verwendet werden dürfen.

Weil das Gleichungssystem in Matrixform gegeben ist, wird auch für die Eingabe in das Programm die Matrixform gewählt. Bevor man die Anzahl der Gleichungen eingibt, sollte also der Radiobutton "Gleichungssystem ... in Matrixform" angeklickt werden. Nachfolgend sieht man die gewählten Einstellungen:

Nach Bestätigung mit dem OK-Button öffnet sich das Eingabeschema, in das die Zahlenwerte unter Verwendung der definierten Konstanten eingetragen werden können (Tipp: Eingabe eines Wertes mit der Tab-Taste lässt den Cursor in das jeweils nächste Feld springen). Wenn (wie hier) die Matrixform für die Eingabe gewählt wurde, können auch die Namen für die Unbekannten angepasst werden (Standardeinstellungen sind: x₁, x₂, x₃, ...). Das ist nicht zwingend, erleichtert aber die Zuordnung der Ergebnisse.

Wenn die Eingabe komplett ist, wird der Button "Gleichungssystem lösen" angeklickt, und das Ergebnis wird angezeigt. Nachfolgend sieht man einen Bildschirm-Schnappschuss mit dem ausgefüllten Eingabeschema und dem Ergebnis der Rechnung:

Das Eingabeschema (mit allen getätigten Eingaben) bleibt während der Berechnung unverändert erhalten, so dass nach Veränderung einzelner Werte sofort eine neue Berechnung gestartet werden kann. Noch effektiver können Variantenrechnungen durch Änderung der definierten Konstanten realisiert werden.

Änderung des Winkels α: Die Rechnung soll mit einem auf den Wert α = 20° geänderten Winkel wiederholt werden. Eine bereits definierte Konstante kann geändert werden, indem man sie einfach noch einmal (mit dem gleichen Namen, aber geändertem Wert) über die beiden gelben Eingabefelder definiert.

Links sieht man die Situation, nachdem die Konstante alpha auf den Wert 20 geändert wurde. Es erscheint automatisch oben ein Button "... neu berechnen", der darauf hinweist, dass nachfolgende Konstanten bei ihrer Definition von alpha abhängig sein könnten. Man sollte dieses Angebot unbedingt annehmen. Das Ergebnis ist rechts zu sehen: Die beiden Konstanten sa und ca haben ihren Wert geändert.

Nachdem wieder der Button "Gleichungssystem lösen" angeklickt wurde, erscheint das Ergebnis der modifizierten Rechnung:

Zusätzliche Änderung des Winkels β: Die Rechnung soll mit einem auf den Wert β = 90° geänderten Winkel wiederholt werden. Nach Änderung der Konstanten beta auf den Wert 90 muss natürlich wieder der Button "... neu berechnen" angeklickt werden, um die von beta abhängigen Konstanten sb und cb zu aktualisieren. Rechts sieht man die Konstantenliste mit den geänderten Werten. Nachdem wieder der Button "Gleichungssystem lösen" angeklickt wurde, erscheint als Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Mathematisch äußert sich dies mit einer singulären Koeffizientenmatrix (die Determinante einer solchen Matrix hat den Wert Null). Real steckt eine unmögliche oder zumindest nicht tragfähige Konstruktion dahinter. In diesem Fall ist das leicht einzusehen, denn β = 90° bedeutet, dass sich die beiden Stützstäbe, an denen die Arbeitsbühne befestigt ist, senkrecht übereinander befinden.

Das ist nicht immer so einfach zu erkennen, die mathematische Reaktion aber ist immer eindeutig: Singuläre Matrix = untaugliche Konstruktion. Man kann sich dazu einige Beispiele unter "Singuläre Matrix" - was ist die Ursache? ansehen.