Flächenschwerpunkt für Polygon - Beispiel

Die Eingabestrategie "Spezielles Polygon"

Im Kapitel 4 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" werden die Formeln für die Flächenschwerpunkt-Berechnung für Polygonflächen hergeleitet, und es wird gezeigt, dass auch für Flächen mit Ausschnitten die Definition eines einzigen Polygonzugs genügt, wenn man sich an folgende Regeln hält:

Die Außenkontur wird, beginnend mit einem beliebigen Punkt, entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen. Vom Endpunkt (gleich Startpunkt) geht man zu einem beliebigen Punkt einer Innenkontur, die dann im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, vom Endpunkt (gleich Startpunkt) der Innenkontur eventuell zu weiteren Innenkonturen (sämtlich im Uhrzeigersinn zu durchlaufen). Nach Durchlaufen der letzten Innenkontur geht man über die Verbindungslinien der einzelnen Konturen bis zum Startpunkt der Außenkontur zurück.

Das Programm "Flächenschwerpunkte für Polygonflächen" (zu finden unter "Technische Mechanik - interaktiv") gestattet neben anderen Varianten auch diese Eingabestrategie.

Polygon mit Ausschnitt Die nebenstehend skizzierte Fläche mit einer Außenkontur mit 6 Punkten und einer Innenkontur (Ausschnitt) mit 4 Punkten verdeutlicht diese Vorschrift. Man beginnt (willkürlich) am Punkt 1 (auf der Außenkontur). Dieser Punkt ist dann auch Punkt 7 nach dem kompletten Umlauf (entgegen dem Uhrzeigersinn!). Dann geht es weiter (willkürlich) mit Punkt 8 (auf der Innenkontur). Dies ist dann auch der Punkt 12 nach dem Umlauf auf der Innenkontur (im Uhrzeigersinn), und von dort aus muss man dann noch einmal zurück zum Startpunkt 1, so dass insgesamt 13 Punkte in folgender Reihenfolge eingegeben werden müssen:

1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 (= 1) → 8 → 9 → 10 → 11 → 12 (= 8) → 13 (= 1)

Hinweis: Diese zweifellos elegante Definition einer Fläche mit Ausschnitten verlangt die genaue Einhaltung der oben formulierten Vorschrift über die Reihenfolge der Punkte. Im Regelfall sollte man lieber das Programmangebot nutzen und Teilflächen und Ausschnittflächen separat eingeben, was sicher weniger fehlerträchtig ist. Weiter unten wird das Ergebnis gezeigt, das auf diese Weise erzeugt wurde.

Aufgabe Beispiel: Die skizzierte Fläche (Koordinaten der Punkte entsprechend nachstehender Tabelle) besteht aus zwei nicht miteinander verbundenen Teilflächen, von denen die linke einen dreieckigen Ausschnitt hat. Man ermittle die Schwerpunktkoordinaten. In der Skizze sind der gewählte Startpunkt (gleich Endpunkt) und der Umlaufsinn angedeutet. Die Tabelle enthält die Punkte in dieser Reihenfolge, wobei mehrfach anzufahrende Punkte auch mehrmals aufgeführt sind.

Punkt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x;y 12;24 0;0 5;0 7;4 17;4 19;0 24;0 12;24 12;14 15;8
Punkt 11 12 13 14 15 16 17 18 19  
x;y 9;8 12;14 12;24 27;24 27;0 31;0 31;24 27;24 12;24  

Nach dem Start des Programms "Flächenschwerpunkte für Polygonflächen" sollte man zunächst die Zeichenfläche an das Problem anzupassen, hier also die Einstellung für x/y-max auf 31 ändern. Die Rasterweiten stellt man sinnvollerweise auch etwas größer ein (z. B. auf den Wert 2 für beide Richtungen). Wenn man die Koordinaten mit der Maus eingeben möchte, sollte man das Fangraster in beiden Richtungen auf den Wert 1 einstellen, weil alle Koordinaten ganzzahlig sind.

Der Aufwand für Maus- bzw. Tastatureingabe der Koordinaten unterscheidet sich kaum. In jedem Fall ist auf die Reihenfolge der Eingabe der Punkte zu achten. Nach kompletter Eingabe kann "Schwerpunkt berechnen" angeklickt werden, und der Bildschirm sollte dann so aussehen:


Ergebnis

Nachfolgend wird der Ergebnis-Bildschirm gezeigt, den man erhält, wenn man der oben gegebenen Empfehlung folgt und drei Flächen definiert (zwei Teilflächen und eine Ausschnittfläche). Das Eingabeprotokoll am rechten Rand zeigt, dass man sich dann nicht an einen bestimmten Umlaufsinn halten muss:


Ergebnis bei Einteilung in drei Flächen