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Überbestimmte Gleichungssysteme (es gibt mehr Gleichungen als Unbekannte) entstehen z. B. bei Problemen der Ausgleichsrechnung und in der Statik, wenn mehr Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden als unbekannte Kräfte zu berechnen sind.
xi[m] |
yi[m] |
0 |
2,00 |
4 |
4,93 |
8 |
6,38 |
12 |
6,37 |
16 |
4,88 |
20 |
1,91 |
Beispiel 1: In der "Einführung in die Ausgleichsrechnung" unter "Mathematik für die Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe behandelt.
Für die Bestimmung der Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen steht aus Videoaufnahmen die nebenstehend zu sehende Messreihe mit 6 Messpunkten zur Verfügung. Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands darf angenommen werden, dass die Kugel sich auf einer quadratischen Parabel bewegt, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann:
y = a0 + a1x + a2x2 .
Für die Bestimmung der drei Parameter a0, a1 und a2 stehen also sechs Gleichungen zur Verfügung:
yi = a0 + a1xi + a2xi2 , i = 1, 2, ... , 6 .
Mit den gegebenen Zahlenwerten lautet das Gleichungssystem:
Hier findet man die komplette Lösung des Systems mit dem Programm "Überbestimmtes lineares Gleichungssystem" und die Auswertung der Ergebnisse mit dem Programm "Funktionen analysieren".
Beispiel 2: Im Kapitel 6 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe formuliert:
Das skizzierte zusammengesetzte System ist durch die Gewichtskraft FG der an einem Seil hängenden Masse belastet. Man ermittle die durch FG hervorgerufenen Lagerreaktionen bei A und B und die Gelenkkraftkomponenten im Gelenk G.
Gegeben: a , FG .
Für die Berechnung der 6 unbekannten Kräfte müssen mindestens 6 Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, sicherheitshalber sollten es einige mehr sein.
Für 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten ist eigentlich das Programm "Lineares Gleichungssystem, Matrixinversion" zuständig, aber auch das Programm "Überbestimmtes lineares Gleichungssystem" kann damit umgehen und gestattet darüber hinaus, die zusätzlichen Gleichungen einfach anzuhängen.
Hier findet man die komplette Berechnung mit 6 bzw. 9 Gleichgewichtsbedingungen, und es wird gezeigt, wie Fehler sichtbar werden, die sich in die Rechnung eingeschlichen haben.
Beispiel 3: Im Kapitel 6 des Lehrbuchs
"Dankert/Dankert:
Technische Mechanik"
wird folgende Aufgabe formuliert:
Eine handelsübliche Gripzange ist durch die beiden Kräfte F belastet. Man bestimme für die in der Skizze angegebenen Abmessungen die Kraft FW, die auf das Werkstück aufgebracht wird.
Gegeben: F .
Eine Besonderheit der Aufgabe besteht darin, dass das mechanische System nicht gelagert ist. Das ist auch nicht erforderlich, weil die beiden angreifenden Kräfte ein Gleichgewichtssystem bilden, so dass Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem nicht sinnvoll sind (sie würden nur bestätigen, dass es ein Gleichgewichtssystem ist).
Im Lehrbuch wird diese Aufgabe ausführlich diskutiert und auf verschiedenen Wegen gelöst (auch mit einigen geschickten Überlegungen per Handrechnung). Für die Aufbereitung der Aufgabe für die Computerrechnung wird die Zerlegung in vier Teilsysteme empfohlen, wobei die an den Gelenken zu übertragenen Kräfte konsequent durch eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente repräsentiert werden.
An den 4 Teilsystemen können insgesamt 12 Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, denen nur 9 unbekannte Kräfte gegenüberstehen. Auf der Seite "12 Gleichgewichtsbedingungen für 9 unbekannte Kräfte" wird gezeigt, wie dieses System gelöst und durch Weglassen einzelner Gleichungen kontrolliert werden kann.