Für das Fachwerk ist eigentlich das
Java-Applet "Statisch unbestimmte ebene Fachwerke (FEM)" zuständig. Das
biegesteife Tragwerk wird mit dem
Applet "Biege- und dehnsteife ebene Rahmen (FEM)" gelöst. Weil dieses aber
auch gelenkige Verbidungen zwischen den biegesteifen Elementen zulässt, ist der
Aufwand geringer, wenn das biegesteife System zunächst berechnet und danach
durch Ersetzen aller Knoten durch Gelenke quasi zum idealen Fachwerk wird.
Dieser Weg wird nachfolgend demonstriert.
- Festlegen der Dimensionen für Länge und Kraft (müssen einheitlich sein
für alle Eingabewerte, die Ergebnisse erhält man dann auch in den
gewählten Dimensionen). Wenn man sich für mm und N entscheidet, werden
folgende Eingabewerte verwendet:
a = 500 mm ;
F = 10000 N ;
Dehnsteifigkeit EA = E·b·h = 6,3·107 N ;
Biegesteifigkeit EI = E·b·h3/12 = 2,1·109 Nmm2 .
Die Werte für Dehnsteifigkeit und Biegesteifigkeit können in das Programm zum Beispiel
als 6.3e7 bzw. 2.1e9 eingegeben werden
- Nach dem Start des Applets
"Biege- und dehnsteife ebene Rahmen (FEM)" (und Doppelklick in den
Mittelbereich)
wird die Zeichenfläche vorbereitet. Für das System mit einer Breite
von 2000 mm und einer Höhe von
1000 mm (Werte werden als x-max bzw. y-max eingestellt) wird hier sinnvollerweise mit
einer Rasterbreite in x-Richtung von 1000 mm und in y-Richtung von 500 mm
gearbeitet, so dass
alle markanten Punkte
getroffen werden.
Dies wird über die Registerkarte
"Zeichenfläche" in dem Register links oben erledigt.
Danach werden die Knoten, biegesteifen Elemente (nur beim ersten Element
müssen EI und
EA eingegeben werden, für alle
weiteren Elemente werden die Werte automatisch übernommen), Lager und Kräfte
eingegeben. Das wird hier nicht detailiert beschrieben, eine ausführliche
Beschreibung der Eingabe eines Systems findet man
hier.
Nach der kompletten Eingabe des Modells sieht der Bildschirm so aus:
- Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne"
im linken Menü wird die
Berechnung gestartet, die Ergebnisse werden in mehreren Graphiken angezeigt, und
rechts werden die
Knotenverformungen gelistet. Die kleinen Bildchen sind etwas unübersichtlich,
dienen aber im Wesentlichen
zur Auswahl: Klicken auf das Bildchen "Verformtes System"
zeigt diese Graphik groß an. In
dieser Anzeige sind dann alle Angebote zur Veränderung der Graphik (unten
links) verfügbar. Die größte Verformung ist die Vertikalverschiebung
des Knotens 6 mit vmax = 1,3230 mm:
- Nach Anklicken des roten Buttons "Alle sechs Ergebnis-Graphiken" landet
man wieder in der Graphik-Auswahl. Nach Anklicken des Buttons
"Schnittgrößen" (rechts unten) werden diese elementweise gelistet,
und mann kann sich z. B. die dazu passende Graphik "Normalkraft"
anzeigen lassen. Die größte Normalkraft tritt mit 16738 N im Element 3 auf:
- Bei biegesteifen Systemen sind die Biegemomente im Allgemeinen die
kritischen Schnittgrößen für die Spannungen (zurück über
"Alle sechs Ergebnis-Graphiken", dort die Graphik "Biegemoment"
auswählen). Das absolut größte Biegemoment
tritt mit 5877 Nmm im Element 1 auf:
- Über den Button "Zurück zur Eingabe" (ganz unten rechts) kommt man wieder
zur Darstellung des Berechnungsmodells, das nun zum "Quasi-Fachwerk" verändert
wird, indem alle (biegesteifen) Knoten zu Gelenken gemacht werden (Klicken auf
das Angebot "Gelenk" und anschließend auf einen Knoten). Auch die beiden Knoten
an den Lagern müssen zu Gelenken gemacht werden, denn die Festlager sind zwar
Gelenke, aber die beiden dort angeschlossenen Träger wären sonst untereinander
biegesteif verbunden. Nachdem alle 7 Knoten zu Gelenken gemacht wurden,
sehen die Graphik und das Protokoll des Systems so aus:
-
Es wird wieder links der grüne Button "Berechne" angeklickt. Nachfolgend
wird das verformte System gezeigt.
Die größte Verformung ist die Vertikalverschiebung
des Knotens 6 mit vmax = 1,3238 mm:
- Bei den Schnittgrößen ergeben sich erwartungsgemäß nur Normalkräfte (es sind die
Stabkräfte des Fachwerks. Die größte Normalkraft findet man auch hier im
Element 3 (16771 N):
- Vergleich der beiden Rechnungen:
- Bei den Verschiebungen sind die Unterschiede marginal: Die maximale
Absenkung ergibt sich bei beiden Rechnungen für den Knoten 6 mit
v6 = 1,3230 mm für das biegesteife Tragwerk bzw.
v6 = 1,3238 mm für das ideale Fachwerk.
- Auch die Normalkräfte zeigen keine nennenswerten Unterschiede. Die größte
Normalkraft (jeweils im Element 3) für das biegesteife Tragwerk hat den Wert
FN,3 = 16738 N, für das Fachwerk ist es die
Stabkraft FS,3 = 16771 N.
- Biegemomente treten nur beim biegesteifen Tragwerk auf. Sie machen
den Unterschied aus, wobei der Vergleich über die Spannungen
geführt werden muss: Die Normalkräfte rufen im Element 3 mit dem
Querschnitt A = 300 mm2
die Spannungen
σN,3 = FN,3/A = 55,8 N/mm2 (biegesteifes Tragwerk) bzw.
σS,3 = FS,3/A = 55,9 N/mm2 (Fachwerk)
hervor. Für das biegesteife Tragwerk ergab sich für dieses Element
das Biegemoment Mb = 1614 Nmm. Mit dem
Widerstandsmoment des Querschnitts
Wb = b·h2/6 = 1000 mm3
berechnet man die Biegespannung
σb,3 = Mb/Wb = 1,61 N/mm2,
die der Normalkraft-Spannung überlagert werden muss, was nur eine unbedeutende Korrektur
ergibt.
Das größte Biegemoment tritt im Element 1 mit 5877 Nmm auf, was auf eine
Biegespannung von 5,88 N/mm2 führt. Dort ist aber die Normalkraftspannung
deutlich kleiner als Normalkraftspannung im Element 3.
Fazit: Die Idealisierung eines Tragwerks dieser Art als ideales Fachwerk
ist durchaus gerechtfertigt. Die Abweichungen der Ergebniss bei den Verformungen
sind verschwindend gering und liegen bei den Spannungen innerhalb der
Grenzen, die bei Praxis-Problemen ohnehin von den Sicherheitsbeiwerten
abgedeckt werden.
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