Eigenschwingungen ebener Rahmen
Aufgabe: Für den skizzierten Träger mit konstantem Querschnitt sind die 3 kleinsten Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen und die zugehörigen Schwingungsformen zu ermitteln (die Masse m soll eine Punktmasse sein).
| Gegeben: | EI = 5·109 Nmm2 ; ρA = 4,8 kg/m ; m = 4 kg ; |
| a = 600 mm ; b = 800 mm ; cT = 60 kNm . |
Grobe Näherung (2 Elemente)
Nach dem Start des Programms "Eigenschwingungen ebener Rahmen" (und Löschen des Demonstrations-Beispiels durch Klicken auf "Alles löschen") wird zunächst eine besonders grobe Einteilung in nur zwei Elemente realisiert, mit der man in der Regel nur die 1. Eigenfrequenz ausreichend genau berechnen kann. Das Erzeugen des Berechnungsmodells wird nachfolgend "Schritt für Schritt" beschrieben:
Weil die Parameter der Aufgabenstellungen mit unterschiedlichen Dimensionen gegeben sind, soll die Möglichkeit genutzt werden, für jede Eingabe die entsprechende Dimension einzustellen. Zunächst wird die für alle Längen geltende Dimension auf "mm" (im Auswahlfeld links unten neben der Zeichenfläche, Abbildung nebenstehend links) eingestellt.
Die Zeichenfläche wird mit den nebenstehend rechts zu sehenden Werten der Aufgabenstellung angepasst (der Wert für y-max kann bei einem horizontal liegenden geraden Träger weitgehend beliebig festgelegt werden). Die Einstellung des Fangrasters ist bereits der im zweiten Schritt geplanten Verfeinerung der Elementeinteilung angepasst. Nachdem jeweils "Werte übernehmen" angeklickt wurde, sieht die Zeichenfläche so aus:
Nach Klick auf "Biege- und dehnsteifes Element" erscheinen in der Zeichenfläche zwei durch eine Linie verbundene Knoten (nebenstehende Abbildung). Mit der Maus wird ein Knoten zum Punkt (0,400) geführt und dort mit Klick fixiert, danach wird der zweite Knoten am Punkt (600,400) fixiert. Es erscheint die Aufforderung, die Parameter für das eben erzeugte Element einzugeben:
Die vorstehende Abbildung enthält bereits die per Aufgabenstellung geforderten Werte: Für die Biegesteifigkeit wurde die Dimension auf "Nmm2" umgestellt, für die Dehnsteifigkeit, die hier keine Rolle spielt, wurde ein sehr großer Wert vorgesehen (Träger ist praktisch dehnstarr). Empfehlenswert ist die Übernahme der Werte mit "OK für alle", weil sie dann nicht noch einmal abgefragt werden. Danach kann sofort das zweite Element zwischen den Punkten (600,400) und (1400,400) erzeugt werden.
Die Lager werden nach Klick auf das passende Symbol (nebenstehende Abbildung rechts) eingegeben: Das Loslager wird nach Klick auf das 3. Symbol in der oberen Reihe zum Punkt (0,400) geführt und dort mit Klick fixiert, die "passende" starre Einspannung findet man in der unteren Reihe ganz rechts. Das Symbol wird am Punkt (1400,400) fixiert.
Für die Eingabe der Drehfeder und der Knotenmasse stehen die beiden links zu sehenden Buttons zur Verfügung. Nach Klick auf den Vollkreis wird dieser am Punkt (600,400) fixiert. Der Aufforderung zur Eingabe der Parameter wird folgendermaßen entsprochen (kein Massenträgheitsmoment, weil "Punktmasse"):
Nach Klicken auf "OK" wird nach Anklicken des Drehfedersymbols die Drehfeder am Punkt (0,400) fixiert, bei der Eingabe der Federzahl cT muss auch die Dimension angepasst werden:
Nach Klicken auf "OK" sollte die Zeichenfläche das nebenstehend zu sehende Aussehen haben. Das komplette Berechnungsmodell ist außerdem in der nachfolgend zu sehenden Liste erfasst:
Nun kann der (große grüne) Button "Berechnung starten" angeklickt werden, und unter dem gelisteten Berechnungsmodell erscheinen die Ergebnisse:
Bei der groben Einteilung in nur 2 Elemente kann man nur für die Grundfrequenz ein brauchbares Ergebnis erwarten. Die Genauigkeit kann kontrolliert werden, weil für diese Aufgabe hier die analytische Lösung zu finden ist. Der exakte Werte für die Grundfrequenz ergibt sich dort zu f1 = 34,381 s−1. Der hier berechnete Näherungswert weicht davon um weniger als 0,3% ab, während der Näherungswert für die 2. Eigenfrequenz (exakter Wert: f2 = 144,01 s−1) bereits unbrauchbar ist.
Die Schwingungsform zur 1. Eigenfrequenz sollte man sich als Animation (Button "Animation starten") ansehen.
Verbesserte Rechnung (14 Elemente)
Das verfeinerte Modell wird auf der Basis des bereits erzeugten Zwei-Elemente-Modells erzeugt, weil dafür nur die Elemente ausgetauscht werden müssen. Das Erzeugen des Berechnungsmodells wird nachfolgend wieder "Schritt für Schritt" beschrieben.
Im Bereich "Ändern und löschen" (nachfolgend links zu sehen) klickt man auf den Button "Element". Es öffnet sich das rechts zu sehende Angebot mit der Offerte, das (zuletzt erzeugte) Element 2 zu bearbeiten.
Nach Klick auf "... löschen" verschwindet das Element, und es wird die Bearbeitung des Elements 1 angeboten. Nachdem auch dafür auf "... löschen" geklickt wurde, sieht das Zeichenfeld so aus:
Nach Anklicken von "Biege- und dehnsteifes Element" wird in der Zeichenfläche ein recht kleines Element mit Knoten bei (0,400) und (100,400) erzeugt. Die Eingabe der Element-Parameter sollte unbedingt mit "OK für alle" abgeschlossen werden, weil dann ohne weitere Rückfrage sofort 13 weitere Elemente erzeugt werden können, so dass die Zeichenfläche so aussieht:
Nach Anklicken von "Berechnung starten" erscheinen Ergebnisse, die auch für die höheren Eigenfrequenzen brauchbar sind:
Zum Vergleich: Die recht aufwendige exakte Lösung wird hier demonstriert. Für die ersten drei Eigenfrequenzen findet man dort: f1 = 34,381 s−1, f2 = 144,01 s−1, f3 = 255,08 s−1.
Die mit 14 Elementen berechneten Frequenzen sind praktisch exakt, damit auch die zugehörigen Schwingungsformen. Nebenstehend sieht man die zu den ersten drei Eigenfrequenzen gehörenden Schwingungsformen.
