Eigenschwingungen ebener Rahmen

Aufgabe: Für den skizzierten biege- und dehnsteifen Rahmen mit konstantem Querschnitt berechne man die kleinsten Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Eigenschwingungsformen.

Gegeben:

EI = 3,5·106 Nm2 ;  EA = 2,9·109 N ;  ρA = 100 kg/m ;  a = 2 m .

Erzeugen des Berechnungsmodells

Nach dem Start des Programms "Eigenschwingungen ebener Rahmen" (und Löschen des Demonstrations-Beispiels durch Klicken auf "Alles löschen") wird der Rahmen zunächst mit neun Elementen modelliert, nachfolgend "Schritt für Schritt" beschrieben:

Die Zeichenfläche wird mit den nebenstehend rechts zu sehenden Werten der Aufgabenstellung angepasst. Nachdem jeweils "Werte übernehmen" angeklickt wurde, wird der Button "Biege- und dehnsteifes Element" angeklickt, und in der Zeichenfläche erscheint ein Element, dessen beide Knoten nacheinander auf den Punkten (0,0) und (0,2) per Mausklick fixiert werden. Es erscheint die Aufforderung, die Parameter für das Element einzugeben:

Die vorstehende Abbildung enthält bereits die per Aufgabenstellung geforderten Werte: Empfehlenswert ist die Übernahme der Werte mit "OK für alle", weil sie dann nicht noch einmal abgefragt werden. Danach kann sofort das zweite Element zwischen den Punkten (0,200) und (0,400) erzeugt werden. Eine Abfrage der Parameter erfolgt nun nicht mehr, und man kann alle 9 Elemente des Berechnungsmodells sehr schnell mit jeweils zwei Mausklicks erzeugen.

Schließlich werden noch die beiden Lager eingegeben: Klicken auf das entsprechende Symbol, in der Zeichenfläche mit der Maus bis zum gewünschten Punkt führen und dort durch Klick fixieren.

Damit ist das Berechnungsmodell schon komplett, und die Zeichenfläche sollte das nebenstehend links zu sehende Aussehen haben. Unterhalb des Eingabemenüs ist die Information über das gesamte Modell in zwei Tabellen zusammengefasst (Eingabe-Protokoll), so dass es noch einmal kontrolliert werden kann. Für die Zeichnung wurde deshalb über die Auswahlkästchen links neben der Zeichenfläche ("Knoten-Nrn." und "Elem.-Nrn.") die Anzeige von Knoten- und Elementnummern aktiviert, so dass der Bezug zu den Tabellen hergestellt werden kann.

Nun kann der (grüne) Button "Berechnung starten" angeklickt werden, und unterhalb des Eingabe-Prtokolls erscheinen die Ergebnisse (für die ersten 4 Eingenfrequenzen):

Die Eigenschwingungsformen sollte man sich unbedingt als grafische Darstellung anzeigen lassen. Dafür steht nach erfolgreicher Berechnung sowohl das Angebot "... zeichen" als auch das Angebot "Animation starten" zur Verfügung (rechts neben der Zeichenfläche). Nebenstehend sieht man die Schwingungsform zur kleinsten Eigenfrequenz, unten links die Schwingungsform zur 3. und rechts zur 4. Eigenfrequenz. Auf der Seite "Eigenschwingungen ebener Rahmen" (beim Beispiel 2 auf den Button "Automatischer Aufbau des Modells" klicken) kann man sich die Schwingungen als Animation ansehen. Weil die Schwingungsformen nur bis auf einen beliebigen Faktor bestimmt werden können, ist die Größe der Ausschläge recht willkürlich. Man kann die Amplituden über die beiden mit "+" bzw. "−" beschrifteten kleinen Buttons beliebig vergrößern bzw. verkleinern. Ensprechendes gilt für die Geschwindigkeit der Animation, obwohl die berechneten Frequenzen natürlich die Geschwindigkeiten vorgeben. In der Regel ist nur die Anzeige in extremer Zeitlupe sinnvoll. Der jeweiligen Zeitlupenfaktor wird in einer Ausschrift unterhalb der Zeichenfläche ausgewiesen.